最近有个讨论：即做一元线性回归（Simple Linear Regression-SLM)时，自变量（X）和因变量（Y）是否需要符合正态分布？不符合正态分布是否可以做回归？回归模型可不可以用？
大家百度或谷歌一下，可以发现铺天盖地的结果说需要正态分布，但又语焉不详。本篇我们结合《Minitab与六西格玛管理》一书来介绍一下一元线性回归(SLM)究竟需不需要正态分布、以及前提是什么？
基本上结论是:
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自变量（X）正态性没有任何要求；
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因变量（Y）比较复杂，也有很多误解。有两种意见：
2.1 需要正态，但不通过检验因变量（Y）本身验证正态，而是通过残差检验来确认正态；
2.2 不需要正态，但对于给定的自变量（X），因变量（Y）的一系列观察值得分布必须正态分布。
具体而言，一元线性回归（SLM) 假定为：对自变量没有任何要求，只对因变量（Y）有以下5个假定：
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存在性(Existence):对于任何给定的X值，Y是随机变量、且其符合一定分布，并存在有限的均值和方差;
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独立性（Independent):对因变量（Y）的要求独立性，即因变量（Y）后一次的值和前一次值没有关系;
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线性（Linearity):自变量(X)和因变量(Y)均值是线性函数关系;
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正态性（Nomality): 对于任何给定的X值，Y是随机变量，Y的观察值符合正态分布，不是说Y符合正态分布而是Y在给定X值时，Y观察到的一组数符合正态分布；如图:当X取X1时，我们观察到一组Y值，这组Y值需满足正态分布，当取X2,X3,X4时，对应的Y的三组观察值也应该符合正态分布；
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方差齐性（Homoscedasticity):当X取任何给定值时，Y在相应X给定值处观察值的分布是方差相同的分布。如下图：当X取X1时，Y的观察到的数据组和在X2,X3,X4时观察到数据组都是正态，且等方差。
回归中是通过残差（Residual）来验证以上假设是否满足，而不是直接对因变量（Y）做正态性检验或其它验证，因为假设前提没有说因变量（Y)一定符合正态分布。
残差（Residual）定义：观察值（observed value）减去拟合值（fitted value），如下图示意：
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自变量（X） |
观察值Y(observed value） |
拟合值(fitted value） |
残差Residual） |
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3 |
5.5 |
5.1 |
0.4 |
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5 |
7.5 |
7.8 |
-0.3 |
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7 |
12.5 |
12.7 |
-0.2 |
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12 |
24 |
24.5 |
-0.5 |
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15 |
28.5 |
28.0 |
0.5 |
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… |
… |
… |
… |
可以看出，如果一元线性回归模型拟合好的话，残差应该不管在X给定值在多少的情况下，残差都比较小，理想情况下:残差应该是以0为均值、一个很小数为方差的正态分布，且方差应该保持恒定。
一元线性回归(SLM)就是通过旋转找到残差方差（SSE)最小的线性模型，即最小二乘法（Least Square Method)。
在MINITAB中作一元线性回归（SLM)，具体可以通过查看残差四合一图以及残差和自变量(X)图来查看和确保Y的几个假设是否满足：
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线性（Linearity）:残差和Y拟合值图、残差和X的给定值图应该是不管Y拟合值多大、X的给定值多少，残差一定是以较小值为中心等方差稳定波动，没有喇叭口和弯曲。弯曲代表二元关系、非线性。（2）&（4）
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正态性（Normality）: 残差的概率图接近直线、残差的直方图对称、钟形分布。（1）
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方差齐性（Homoscedasticity）：当X取任何给定值时，残差是一定较小值为中心等方差稳定波动，残差的时序图稳定受控。（3）
最后，一元线性回归（Simple Linear Regression-SLM)正态性的要求是指：对于给定的自变量X值，因变量Y是随机变量、Y的观察值符合正态分布，而不是因变量Y符合正态分布。
